Импульс тела и импульс силы, закон сохранения импульса

Импульс — ещё один способ описать движение, которым пользуются в задачах на удары, выстрелы, разрывы и отдачу. В таких задачах силы взаимодействия неизвестны и быстро меняются, зато закон сохранения импульса даёт ответ без них.

Где встречается в ЕГЭ. Импульс тела, импульс силы и закон сохранения импульса входят в линию законов сохранения: расчётная задача в задании №3. В заданиях №5 и №6 нужно анализировать столкновения и читать графики. Закон сохранения импульса используется и в расчётных заданиях №22 и №26, в №26 нужно письменно обосновать его применимость.

Чему ты научишься

• находить импульс тела и его изменение, помня, что импульс — вектор;
• связывать импульс силы с изменением импульса и находить их по графику $F(t)$ и $p(t)$;
• записывать закон сохранения импульса в проекциях для ударов, выстрелов и разрывов;
• различать абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары и понимать, что при этом происходит с энергией.

Импульс тела

Импульс — векторная величина, направленная так же, как скорость. В задачах чаще всего движение идёт вдоль одной прямой, поэтому работают с проекцией: $p_x = mv_x$. Её знак зависит от направления оси.

Изменение импульса $\Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$ — тоже вектор. При движении вдоль оси $\Delta p_x = p_{2x} - p_{1x}$.

Рис. 1. Мяч налетает на стену и отскакивает с той же по модулю скоростью. Модуль импульса не изменился, а вот изменение импульса не равно нулю: $\lvert\Delta p\rvert = 2p$.

Полезная связь с энергией: $E_{\text{к}} = \dfrac{p^2}{2m}$. Если импульсы тел равны, то у более лёгкого тела кинетическая энергия больше.

Импульс силы и второй закон Ньютона

Произведение $\vec{F}\,\Delta t$ называют импульсом силы; $[F\,\Delta t] = \text{Н}\cdot\text{с} = \text{кг}\cdot\text{м/с}$.

Это второй закон Ньютона в «импульсной» форме: $\vec{F} = \dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ (при $m = \text{const}$ получаем привычное $\vec{F} = m\vec{a}$). Здесь $\vec{F}$ — равнодействующая всех сил. Закон удобен, когда неизвестно ускорение, но известны время действия и изменение скорости, например при ударе.

Графики $F(t)$ и $p(t)$

• На графике $F_x(t)$ площадь под графиком равна импульсу силы, то есть изменению импульса $\Delta p_x$.
• На графике $p_x(t)$ наклон равен равнодействующей силе: $F_x = \Delta p_x / \Delta t$.

Рис. 2. Слева: площадь под графиком силы $8 + 4 = 12$ Н·с. Если тело массой 2 кг стартовало с покоя, то $mv = 12$ и $v = 6$ м/с. Справа: на участке 2…5 с импульс убывает с 6 до −6, значит $F_x = -4$ Н; на горизонтальных участках $F_x = 0$.

Закон сохранения импульса

Откуда закон. По третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух тел равны и противоположны, действуют одно и то же время, поэтому их импульсы $\vec{F}\Delta t$ противоположны. Значит, изменение импульса одного тела равно по модулю и противоположно по знаку изменению импульса другого, а сумма остаётся прежней: $\Delta\vec{p}_1 = -\Delta\vec{p}_2$.

Когда его можно применять:

• система замкнута: внешних сил нет или их сумма равна нулю;
• внешние силы есть, но их проекция на выбранную ось равна нулю: закон выполняется для проекции на эту ось (например, горизонтальная ось, если внешние силы вертикальны);
• взаимодействие кратковременно (удар, выстрел, взрыв): внутренние силы намного больше внешних, поэтому импульс системы за этот миг почти не меняется.

Алгоритм

1. Определи систему тел и проверь, замкнута ли она (в нужной проекции).
2. Направь ось и расставь знаки скоростей: по оси — плюс, против оси — минус.
3. Запиши суммарный импульс до и после взаимодействия в проекции и приравняй.
4. Реши уравнение и проверь знак ответа: «минус» значит, что тело движется против оси.

Типы взаимодействий

Абсолютно неупругий удар

Тела после удара движутся вместе (слипаются). Закон сохранения импульса:

$$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{u}.$$

Механическая энергия не сохраняется: часть переходит во внутреннюю (нагрев, деформация).

Рис. 3. Тележка налетает на неподвижную и сцепляется с ней: система движется как одно целое со скоростью $u$.

Рис. 4. Взаимодействие происходит между $t = 2$ и $t = 3$ с. Импульс первой тележки уменьшается на столько же, на сколько увеличивается импульс второй, а сумма постоянна (кг·м/с).

Абсолютно упругий удар

Сохраняются и импульс, и кинетическая энергия: энергия деформации в конце удара полностью возвращается. Для центрального удара двух одинаковых тел, одно из которых покоилось, тела обмениваются скоростями: первое останавливается, второе уходит с прежней скоростью.

Выстрел, отдача, разрыв

Если система вначале покоилась, суммарный импульс равен нулю, и части разлетаются в противоположные стороны: $0 = m\vec{v} + M\vec{V}$.

Импульс и энергия вместе

Многие задачи (в том числе №26) делятся на этапы: удар (сохраняется импульс), затем движение после удара (энергия или второй закон Ньютона). Не смешивай: при неупругом ударе энергия не сохраняется, а при подъёме после удара импульс не сохраняется.

Разбор заданий в формате ЕГЭ

Задание типа №3. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдите модуль импульса тела.

Решение: $p = mv = 2 \cdot 3 = 6$ кг·м/с. Ответ: 6.

Задание типа №3 (закон сохранения). Тележка массой 2 кг, движущаяся со скоростью 3 м/с, сцепляется с неподвижной тележкой массой 1 кг. Какова скорость тележек после сцепки?

Решение: $2 \cdot 3 = (2 + 1)u$, $u = 2$ м/с. Ответ: 2.

№5, выбор верных утверждений. Две тележки на гладкой горизонтальной поверхности сталкиваются и сцепляются. Трение пренебрежимо мало. Выберите все верные утверждения.

1. Суммарный импульс тележек сохраняется.
2. Суммарная кинетическая энергия тележек сохраняется.
3. Импульс каждой тележки в отдельности остаётся постоянным.
4. Изменения импульса тележек равны по модулю и противоположны по направлению.
5. Часть механической энергии переходит во внутреннюю.

Разбор. Верны 1, 4 и 5. Утверждение 2 неверно (удар неупругий). Утверждение 3 неверно: сохраняется суммарный импульс, а не импульс каждого тела. Ответ: 145.

№6, изменение величин. Пластилиновый шарик налетает на такой же неподвижный шарик, и они слипаются. Как изменяются в результате удара суммарный импульс шариков и их суммарная кинетическая энергия? 1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется.

Разбор. Система замкнута, поэтому суммарный импульс не изменяется. Удар неупругий, часть энергии уходит в тепло, значит кинетическая энергия уменьшается. Ответ: 32.

Типичные ошибки

Шпаргалка

Задачи для самопроверки

1. Мяч массой 0,4 кг летит со скоростью 5 м/с, ударяется о стену и отскакивает с той же по модулю скоростью. Найдите модуль изменения импульса мяча и среднюю силу удара, если он длится 0,02 с.
2. Сила 5 Н действует на покоившееся тело массой 2 кг в течение 4 с. Найдите конечную скорость.
3. Вагон массой 20 т движется со скоростью 0,5 м/с и сцепляется с неподвижным вагоном массой 30 т. Найдите скорость вагонов после сцепки.
4. Человек массой 60 кг прыгает с неподвижной лодки массой 120 кг со скоростью 2 м/с относительно берега (горизонтально). Найдите скорость лодки.
5. Снаряд массой 4 кг летит горизонтально со скоростью 20 м/с и разрывается на два осколка по 2 кг. Один осколок летит вперёд со скоростью 50 м/с. Найдите скорость второго осколка.